تحلیل علمی انتخابات ریاست جمهوری ۱۳۸۸
در مقاله ادعایی هیچ نموداری رسم نشده بود تا اصل ماجرا مشخص گردد و البته قسمتهای اصلی مقاله یعنی محاسبه میزان خطا و انحراف، کاملا اشتباه بود و تعمداً از مقادیر نرمال نشده استفاده شده بود و نتیجه دیگری را به خواننده القا میکرد.
صحبت از تقلب در انتخابات تنها یک موضوع مختص به ایران و حتی کشورهای در حال توسعه نظیر ونزوئلا، مکزیک، و زیمباوه نیست و در سال ۲۰۰۰ شاهد بودیم که بحث تقلب در انتخابات ریاست جمهوری در ایالت فلوریدا به موضوع داغ آنروزها بدل شده بود. به هر حال آنچه مسلم است آنکه اهمیت سیاست و موضوع تقلب در انتخابات سبب شده که دانشمندان علم آمار با استفاده از کمترین داده های موجود از انتخابات روشهای آماری را طراحی کنند که با کمک آن بتوان با صراحت در مورد سلامت انتخابات اظهار نظر نمایند. یکی از معمول ترین این روشها روشی است که از قانون بن فورد (Benford’s Law) پیروی میکند. بطور خیلی مختصر و قابل درک برای خوانندگان این قانون به آن اشاره دارد که رقمهای مربوط به یک عدد (خواه یک رقمی یا بیش از یک رقمی) حاصل از شمارش یک پدیده در جهان خارج (جهان واقعی) از توزیع نرمال (Normal distribution) یا توزیع یک فرم (Uniform distribution) پیروی نمیکند بلکه از توزیعی شبیه توزیع Chi Square پیروی میکند. آقای بنفورد احتمال این اعداد را برای حوادثی چون انتخابات محاسبه کرده است. قابل ذکر است که اعداد ذکر شده در قانون بنفورد همانند قوانین نیوتن یک واقعیت علمی است و در حال حاضر علاوه بر مسئله انتخابات، برای رسیدگی به احتمال تقلب در سود سهام شرکتها و مسائل مالیاتی نیز از همین روش استفاده میشود.
اجازه بدهید چند خط از این مقاله را به توضیح ساده این قانون بپردازیم. در این قانون احتمال اینکه آخرین عدد سمت چپ یک عدد (فرض کنید تعداد آراء اخذ شده به نفع یک کاندیدا) که میتواند یکی از اعداد ۱ تا ۹ باشد با هم برابر نیست. بلکه احتمال آنکه رقم سمت چپ یک عدد، ۱ باشد حدود ۳۰% است در حالی که این احتمال برای عدد ۹ در حدود ۴٫۵%. همچنین است احتمال وجود عدد ۰ تا ۹ برای دومین رقم سمت چپ تعداد آراء اخذ شده به نفع یک کاندیدا که آن نیز از قانون دیگری پیروی میکند.
طبق این قانون احتمال ظهور اعداد در رقم اول از رابطه ۱ تبعیت میکند:
(۱)
برای اینکه اهمیت قانون بنفورد بهتر دیده شود، جدول ۳ که شامل مثالهایی از طبیعت و تطابق آن با قانون بن فورد است، نشان داده شده است.
آزمون رقم اول
اگر بخواهیم میزان این اختلاف را به صورت علمی حساب کنیم، باید از روشهای معتبر محاسبه خطا مانند Chi-Squared استفاده کنیم، بر مبنای این رابطه داریم :
(۲)
در این رابطه m نشان دهنده میزان واقعی کمیت و p احتمال وقوع آن است که با ضرب تعداد کمیتها(N) در آن به تعداد پیشبینی شده در توزیع ایده آل میرسیم. جدول ۶ بر مبنای این محاسبات تنظیم شده است:
همان گونه که دیده میشود، بیشترین خطای نسبی ۰٫۰۷ می باشد، که با توجه به تعداد نه چندان زیاد دادهها (۳۶۶ شهرستان) نتیجه بسیار خوبی برای اعتبار نتایج است.
آزمون رقم دوم
برای بررسی دقیق تر صحت اعداد اعلام شده، گاهی اوقات رقم دوم اعداد را نیز بررسی میکنند و برای صحت نتایج آن را با پیشبینی بنفورد میسنجند. اگر آمار ارائه شده وزارت کشور را برای نتایج آرای نامزدها در شهرستانها بررسی کنیم برای توزیع اعداد در رقم دوم، نتایج زیر به دست میآید.
آزمون رقم سوم
اگر بخواهیم حد اطمینان را افزایش دهیم، میتوان تمامی این محاسبات را برای رقم سوم نیز تکرار کرد، البته برای این منظور باید از معیار رقم سوم بنفورد استفاده کرد. با ادامه محاسبات برای بررسی نهایی، جداول و نمودارهای ذیل خواهند آمد. شایان ذکر است در این آزمون از اطلاعات مربوط به یکی از نامزدها به علت اینکه بسیاری از آرا ایشان در شهرستانها دو رقمی و فاقد رقم سوم بود، حذف گردیده است.
جدول ۱۱- نسبت تکرار اعداد ۰،۱،۲،۳…،۹ در سومین رقم سمت چپ تعداد آرای هر نامزد در ۳۶۶ شهرستان
همانگونه که دیده میشود، بیشترین خطای نسبی برای این آزمون ۰٫۰۳ می باشد، که این میزان نیز با توجه به تعداد نه چندان زیاد دادهها (۳۶۶ شهرستان) نتیجه بسیار خوبی برای اعتبار نتایج است.
نتیجه گیری نهایی
همان گونه که بیان شد، امروزه برای اعتبار سنجی علمی نتایج انتخاباتها در سراسر دنیا روشهای خوبی وجود دارد، که یکی از اصلی ترین این روشها روش توزیع Benford بر مبنای تعداد ظاهر شدن اعداد ۱ تا ۹ در رقمهای اول تا سوم نتایج تفکیکی است. در این مقاله سه روش قدرتمند بر داده های استخراج شده مربوط به آرای تفکیکی شهرستانها از پایگاه اینترنتی وزارت کشور www.moi.ir اعمال گردید که همگی حاکی از صحت علمی نتایج انتخابات است و بنابراین فرض دستکاری گسترده در آرا و عددسازی مردود است.
منابع و مراجع
۱٫ پایگاه اینترنتی وزارت کشور www.moi.ir
2. “Detecting Problems in Survey Data using Benford’s Law”, George Judge, University of California at Berkeley, Laura Schechter, University of Wisconsin at Madison, November 1, 2007
3. “The Effective Use of Benford’s Law to Assist in Detecting Fraud in Accounting Data”, Cindy Durtschi,William Hillison, Carl Pacini, Journal of Forensic Accounting, Vol. V 2004, pp 17-34
4. “Election Forensics: Vote Counts and Benford’s Law”, Walter R. Mebane, Jr., July 17, 2006
5. http://mathworld.wolfram.com/Chi-SquaredTest.html
6. http://mathworld.wolfram.com/BenfordsLaw.html
7. http://en.wikipedia.org/wiki/Benford’s_law
8. http://en.wikipedia.org/wiki/Chi-square_distribution
9. http://en.wikipedia.org/wiki/P-value
*پژوهشگر – کارشناس ارشد دانشگاه شریف
منبع: سایت الف